Analyse de sujet de MATHS ECS (EML, 2018)

Introduction

Généralités : Un format ultra-classique présentant 2 problèmes mais avec une originalité puisque des probas étaient au rendez-vous dans les deux problèmes, ce qui est rare à l’EML. En 2010, il y avait déjà eu des probas à l’EML dans un problème sur des matrices stochastiques mais pas dans les deux problèmes… Un petit aperçu rapide permet d’identifier que le sujet sera difficilement terminable : deux problèmes assez longs, classiques a priori (analyse et proba d’abord, algèbre et proba ensuite) mais cachant sans doute des subtilités. Allons voir cela de plus près !

Problème 1 : Analyse et probabilités

A première vue, on sent que l’on ne va pas s’ennuyer car on reconnaît pas mal de choses : intégrales de Wallis, changement de variables, inégalité de Taylor Lagrange, loi normale, loi de Poisson… Jouable donc.

Dans le détail :

Partie I :

• on reconnaît les intégrales de Wallis qui sont sans doute les familles d’intégrales les plus réputées puisque tombées en 1994 (ESCP), 1996 (EML), 2001 (ESSEC), 2012 (EML), 2013 (EDHEC).
• On était guidé en 2.a mais il fallait tout de même penser à partir de Wk+2 et utiliser l’astuce sin^(k+2)=sin^(k+1)*sin… Certains ont donc dû être déroutés.
• Nous sommes à l’EML où la qualité de la rédaction est fortement valorisée donc la 2.b se concluait par une récurrence, méthode bien plus rigoureuse que l’itération.

Partie II :

• En 3. Là encore le concepteur est gentil et donne le changement de variables à utiliser, ce qui ne serait sans doute pas le cas aux Parisiennes… Attention à la rédaction car l’intégrale initiale est impropre donc le changement de variable demande du soin. Aussi, telle que la question était posée, il était possible de faire d’une pierre deux coups et montrer la convergence en faisant le calcul. Les meilleurs candidats ont dû le voir et ont ainsi gagné quelques précieuses minutes sur ce sujet marathon.
• En 4.a), attention la fonction I est définie par une intégrale impropre en 1 mais en procédant par équivalence, on montre que le numérateur est équivalent à exp(x) + exp(-x) soit une constante par rapport à t. On utilise le critère d’équivalence (on est bien en présence de fonctions positives) et on réutilise la question précédente pour k=0 et on s’en sort. Plus de détails sur la vidéo que j’ai faite depuis la LiveClass ! La parité, en revanche, ne pose aucun problème.
• La question 5.a est aussi un grand classique de l’EML qui tombe en moyenne tous les deux-trois ans depuis des années ! De l’inégalité de Taylor-Lagrange où l’ordre et la fonction étaient données (ce ne sera pas le cas aux Parisiennes, par exemple à l’ESSEC en 2010 où les étudiants qui l’ont traité s’en souviennent encore ! D’ailleurs à l’ESSEC en 2013, on s’amusait aussi avec cette inégalité…). Ici, les dérivées (2k+1)e s’annulent en 0 – ce qui nous rappelle le lointain exercice 3 de l’EDHEC 1994 – et qui, du coup, nécessitait de faire une récurrence double pour le calcul de la dérivée k-ième et, ensuite, de savoir scinder une somme en termes pairs et impairs. Pas si simple que cela finalement !
• En revanche, la 5.b, bien que banale, demande énormément de soin car les intégrales en présence sont impropres et l’inégalité triangulaire appliquée aux intégrales impropres est souvent la grande oubliée sur ce genre de questions… J’ai pas mal embêté mes étudiants sur ce type de difficultés, j’espère qu’ils ont eu une courte pensée à mon égard en déroulant la méthode !
• La 5.c mobilisait bien sûr le théorème d’encadrement mais là encore, une subtilité puisque la limite du membre de droite n’est pas explicitement au programme. On pouvait toutefois ruser en considérant la suite Un=x^n/(n !) qui tend vers 0 puisque c’est le terme général d’une série exponentielle convergente et donc la suite (Un) tend vers 0. Sa suite extraite U2n+1 tend donc également vers 0. Et le tour est joué !

Partie III :

• En Q6, de l’inégalité qui mobilise la croissance de l’intégration dans le cas impropre et en réutilisant les résultats précédents pour faire apparaître le membre de droite…
• La 7.a est une formalité si l’on décortique un peu au brouillon ce que cela veut dire en procédant par équivalence. Au propre, on remonte le fil du raisonnement trouvé au brouillon et on trouve le résultat. C’est ce que certains profs appellent la « méthode des vieux » : on part de la réponse, on transforme par équivalence, on arrive à une évidence et il suffit de remonter à l’envers le brouillon pour impressionner le correcteur ! Ici, on peut aussi procéder par différence et mise au même dénominateur. Bref, un candidat qui a un peu travaillé le calcul doit s’en sortir.
• En 7.b et 7.c, changement de variable et inégalité mais en plus impressionnant, ce qui ne veut pas dire plus difficile.
• La question 8.a aurait pu être traitée sans le rappel de cours mais le concepteur a choisi d’être sympa. Une fois de plus, ce ne sera pas le cas aux Parisiennes, par exemple à HEC 1999 S2 ou HEC 2008 S2… donc sachez calculer ces intégrales hyper classiques sans le rappel…
• La 8.b nous mène encore vers des changements de variables et nous permet de vérifier que les résultats obtenus en 8.a sont bons.
• En 9, on utilise sans doute le théorème d’encadrement en utilisant Q6 et 7.c.

Partie IV :

• En Q10, un peu de Scilab avec en prime une analyse de graphe où l’on observe aisément que la quantité semble tendre vers ½…
• En Q11, on utilise classiquement la formule des probabilités totales ou bien une union, et comme les variables sont indépendantes, on utilise une règle sur les puissances pour obtenir le résultat.
• En 12.a, on pense à réutiliser la question 5.c… et on y arrive a priori.
• En 12.b, on calcule un équivalent qui a peut-être l’allure de l’équivalent trouvé avec le Scilab.

Problème 2 :

On reprend sa respiration, et on bascule à présent dans l’univers de l’algèbre et des polynômes. On est heureux de retrouver un endomorphisme de polynômes comme on en a souvent eu par le passé, à l’EML comme aux Parisiennes (dès 1978, à l’ESSEC S2 partie III, on avait déjà des endomorphismes de ce type ! Mais aussi à HEC en 1987 sur la maths 2 et à l’EML en 1995 ou à ECRICOME 1995). On est donc a priori en terrain connu mais vigilance et analysons cela de plus près ! .

Dans le détail :

Partie I :

• En Q1, on commence tout en douceur puisqu’une fois de plus les difficultés sont guidées.
• En Q2, il fallait bien s’appliquer dans le calcul de phi(X^k) en distinguant le cas k=0 et les suivants même si, in fine, le cas initial rejoint le cas général. On s’applique alors dans l’expression de la matrice et on trouve, si mes calculs au brouillon sont justes, une matrice triangulaire avec sur la diagonale 0, 1/n, 2/n…, 1. Le rang se déduit donc par la méthode suivante : A est une matrice d’ordre n+1 et admet n+1 valeurs propres distinctes donc A est diagonalisable et tous les sous-espaces propres sont de dimension 1. En particulier, 0 est valeur propre et son sous espace propre KerA est de dimension 1. On déduit alors par le théorème du rang que le rang de A vaut n.
• 3.a : on a déjà fait le boulot puisque 0 est valeur propre donc A n’est pas inversible et phi n’est pas injectif ! On pouvait aussi remarquer que A était triangulaire avec un 0 sur la diagonale…
• La 3.b peut faire peur mais a sans doute rappelé à certains l’EML 1995. Question technique toutefois où il fallait par exemple montrer d’abord que 1 était bien racine de P. En posant k son ordre de multiplicité, on réutilise la relation vérifiée par P, ie phi(P)=0 et par une mise en facteur judicieuse, on finit par s’en sortir. Plus de détails dans la vidéo. La 3.c se conclut directement et on trouve Vect ((1-X)^n) ce qui nous rassure quand on regarde plus loin la question 5…
• Q4 : déjà traitée plus haut !
• Q5.a : on nous fait trouver les vecteurs propres par le calcul. C’était plus difficile à HEC 1987 ou à l’EML 1995 ! Ici, on se laisse porter par le calcul et on trouve phi(Pk)=(k/n)*Pk…
• La Q5.b était simple pour qui connaît bien son cours puisqu’on est en présence d’une famille de n+1 vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes donc on est tout simplement en présence d’une base de E formée de vecteurs propres… La matrice de phi dans cette base est évidemment diagonale et les sous-espaces propres sont donc : Ek/n = Vect (Pk)… Attention, ici la famille de polynômes n’était pas échelonnée par degrés… Certains sont sans doute tombés dans le piège…

Partie II :

• En Q6, c’est clairement une originalité de cette année : un protocole de probabilités où le savoir-faire en dénombrement permettait de s’en sortir.
• En Q7, on revient sur des classiques sur les fonctions génératrices (la fonction G) et la 7.b est un remake de nombreuses questions de probabilités. On peut songer à ECRICOME 2008 ECE ou un exercice de l’ESCP 2006 (oral) où les fonctions génératrices de ce genre étaient aussi à l’honneur.
• En Q8, Gk(1)=1 (SCE) mais attention, pour G’k(1), il faut d’abord dériver Gk et ensuite évaluer en 1… La 8.b est calculatoire et vous teste sur votre maîtrise des sommations mais on est heureux de retrouver une suite arithmético-géométrique et d’achever ainsi la Q8.c…
• La Q9 nous fait utiliser le binôme de Newton pour commencer mais ensuite il faut avoir du recul pour faire le lien avec les questions précédentes et notamment Q7.d. On conclut en reconnaissant que deux polynômes sont égaux ssi leurs coefficients sont égaux… N’est-ce pas une méthode magnifique pour trouver une loi et conclure l’épreuve ?

Conclusion

Un très bon cru où les étudiants sérieux ont dû reconnaître de nombreuses questions classiques mais mobilisant une grande concentration et quelques astuces qui permettaient de gagner du temps. Ces concours 2018 commencent donc bien ! Bonne chance à tous pour la suite et n’hésitez pas à suivre nos prochaines analyses sur MyPrepa News ou notre chaîne Youtube pour la version vidéo des analyses.