Analyse de sujet de MATHS ECS (HEC, 2018)

Introduction

Généralités : D’emblée, en découvrant l’épreuve, on est surpris : ces dernières années, les concepteurs d’HEC nous avaient réservé des énoncés complexes où plusieurs notions nouvelles étaient introduites avant de commencer. Là, une épreuve d’analyse d’un certain classicisme semble s’offrir à nous et nous replonge dans le souvenir des annales incontournables : ESSEC 2016, ESSEC 2013, EML 2004, EML 2000 (sur l’intégrale de Gauss) … Du Scilab et des probabilités à la fin, certes, mais en grande majorité de l’analyse pure et – moyennement – dure. Doit-on s’en féliciter ? Sans doute, mais pour faire la différence sur ce genre de sujet, il faut miser sur trois ingrédients : la vitesse d’exécution, la rigueur et la capacité à trouver des questions difficiles que le candidat ordinaire ne trouvera pas ! Voyons cela de plus près !

Préliminaire :

On commence gentiment avec des convergences d’intégrales que l’on expédie à l’aide du critère de négligeabilité et d’une intégrale de Riemann convergente. Attention toutefois : il ne fallait pas oublier de scinder l’intégrale en deux car l’intégrale de Riemann que l’on mobilise pose problème en 0… Les calculs du 1.b ne posent pas de problème. En 2, c’est à peu près la même chose sauf qu’il faut raisonner en valeur absolue car les fonctions trigonométriques ont tendance à ne pas être de signe constant…

Partie I :

Là encore, du déjà vu mais qui demande du soin.

• • En 3.a : l’inégalité des accroissements finis (qui est une formule de Taylor à l’ordre 0…) doit suffire.
  • La 3.b demande de l’agilité trigonométrique mais on sait que toutes les formules de trigonométrie, ou presque, peuvent se redémontrer à l’aide des formules cos(a+b) et sin(a+b). Il suffit donc de trouver le bon « a » et le bon « b ». Ici, en observant le membre de droite, on voit que (u+v)/2+(v-u)/2=v donc on a l’idée de remplacer cos(v) par cos((u+v)/2+(v-u)/2)… et avec le même genre d’astuce appliqué à cos(u), on doit trouver le résultat…
  • La 3.c demande un peu plus de métier car il faut faire le lien avec ce qui précède et le cours. On va montrer par exemple que, pour x fixé, |F(x)-F(y)| tend vers 0 quand y tend vers x, ce qui prouve la continuité de F en x. Et comme cela est vrai pour tout x réel, on a le résultat… Les intégrales étant impropres, il faut de la rigueur dans la conduite des calculs. Et le lien avec les deux questions précédentes n’est pas immédiat. Une première question discriminante donc.
  • Q4 et Q5 : de l’inégalité de Taylor Lagrange puis de la croissance de l’intégration au programme, un peu comme à l’EML quelques jours plus tôt. On fait apparaître en Q5 un taux d’accroissement en divisant par h que l’on choisit non nul, et par encadrement, on trouve la dérivée demandée.

Partie II :

• • En Q6, rien de bien compliqué si l’on utilise le fait que sin(x) est équivalent à x en 0 mais la notion de prolongement par continuité a tendance à effrayer donc certains ont dû prendre peur…
  • La Q7 est l’un des calculs les plus connus en prépa, et que l’on aborde dès l’entrée en bizuth : la fameuse somme complexe, déjà vue entre autres à l’EML 2000, que l’on transforme en somme géométrique (en n’oubliant pas de distinguer le cas où la raison est égale à 1 ou non…) puis en mettant en facteur avec l’angle moitié. En 7.b, on prend la partie réelle du résultat précédent et on s’y retrouve.
  • En Q8, un changement de variable doit faire l’affaire.

Partie III :

Cela semble se corser légèrement. Les séries en 9.a peuvent faire peur mais j’aurais personnellement tenté de faire apparaître une croissance comparée en multipliant par k^2 et en utilisant ainsi le critère de comparaison. Pas sûr que cela fonctionne mais cela se tente ! Ensuite, on a du calcul ressemblant à ce qui s’est vu dans EML 2000 mais en plus technique. Quelques questions qui sautent aux yeux toutefois : le changement de variable en 10.a, et le fameux théorème de Riemann-Lebesgue en 12.a (tombé à l’EML 2000 mais aussi à l’ESSEC 2016).

Partie IV :

C’est la nouveauté de l’année : des probabilités discrètes sur une maths I d’HEC. Pas si fréquent que cela ! Mais n’ayez crainte, en voyant le Scilab, on sent qu’il y a sans doute des points à aller chercher car l’algorithme avec « while » semble ressembler à celui d’une simulation de loi géométrique. J’aurais donc personnellement tenté de faire avec soin et vitesse les 3 parties d’analyse pour pouvoir faire la différence en partie IV sur quelques questions.

Conclusion :

Comme pour l’EML 2018, cet HEC 2018 valorise les candidats sérieux. Tout comme à l’ESSEC en 2013, le sujet devrait donc permettre de bien classer les étudiants et, à vue de nez, le 20/20 devrait être atteint en ayant fait les 3 premières parties + le Scilab de la partie IV (Q13 donc). Sans doute, une épreuve qui sera souvent reprise par les professeurs de prépa car elle permet une large révision des notions d’analyse.