Préambule
En attendant la version vidéo que nous vous préparons prochainement, voici quelques éléments d’analyse de ce sujet.
Généralités :
En découvrant le sujet, on est surpris : encore une épreuve qui fait la part belle à l’analyse! Cette année 2018, les fans d’algèbre ont dû être déçus, les amoureux de l’analyse comblés ! Cela dit, l’épreuve qui nous fait face a posé de sérieuses difficultés aux étudiants. Apparemment, les salles se sont vidées progressivement devant une telle complexité technique.
Comment fallait-il déjouer tout cela. Voici quelques éléments de réponse avant une analyse vidéo plus poussée.
Partie I :
Ça commence gentiment avec une série télescopique très banale que l’on expédie rapidement en remarquant que 1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1). La convergence peut aussi se montrer par équivalence mais autant faire d’une pierre deux coups et calculer directement la somme. A vous de choisir.
En Q2, on souffre beaucoup plus avec une densité présentant 5 morceaux (dont 2 où elle est nulle) et où il s’agit de retrouver la valeur de c_n l’inconnue. On se sert du point de cours qui dit que l’intégrale entre moins l’infini et plus l’infini vaut 1. Lourd… La représentation graphique de f_3 est simple mais les étudiants n’aiment tellement pas les courbes, ils ont dû souffrir aussi ! Si la fonction de répartition a bien été calculée, la convergence en loi vient assez rapidement.
En Q3, on reconnaît un théorème de Slutsky en b et un produit de convolution en c : rassurant donc !
En Q4, on doit sans doute mobiliser la stabilité de la loi normale et pour la 4b il fallait penser à réutiliser la Q3 puisque par télescopage on montre aisément que Tn=Dn…
Partie II :
En Q5a, on voit un peu ce que cela donne au brouillon et on se rapproche d’une somme partielle de la série de Riemann avec en borne supérieure un peu délicate où la partie entière et la racine carrée sont sans doute à explorer… Quant à la b, l’énoncé nous rappelle la convergence de la fonction zêta (c’est la fonction dont le symbole est donné en seconde ligne de l’énoncé) vers pi^2/6 donc on peut conclure. La c et la d semblent casse-tête : à chercher pour les meilleurs candidats car ce n’est sans doute pas très compliqué mais un peu dérangeant tout de même !
D’autant plus qu’en Q6, on retombe sur de l’analyse plus abordable bien que technique en 6.b. Sans doute fallait-il distinguer les cas où n est pair et n est impair pour s’en sortir (astuce à retenir quand on doit gérer des parties entières). La 6.b semble assez classique si l’on utilise la concavité de ln et que l’on distingue les cas pair et impair. Le reste de la partie semble du même calibre : technique et nécessitant une grande concentration car cela ne ressemble pas à grand-chose de connu…
Partie III :
Cela commence bien car les amateurs d’annales de concours (et mes étudiants !) auront peut-être reconnu la variable que l’on a dans ESCP 2000 en partie II (la fameuse particule qui se déplace sur un axe et fait des sauts vers la droite « +1 » ou vers la gauche « -1 » sur un axe). En Q7 et Q8, il y avait donc sans doute des points à prendre même si là encore, la technicité à mobiliser semble grande.
En Q9a, une question rare aux concours et en marge du programme sur la stabilité des tribus par union et intersection. Les fins connaisseurs du cours ont dû apprécier. En Q9.b, on se dit que la Q8.d peut servir.
A partir de la Q10, on nous pose encore des nouvelles notations qui ont sans doute achever les derniers survivants même si nos dernières forces éventuelles peuvent être livrées sur la Q11 de Scilab…
Conclusion :
Un sujet très discriminant malgré les apparences. Pour réussir une telle épreuve, il fallait réunir plusieurs ingrédients majeurs : être très fort en calcul, connaître parfaitement son cours, savoir faire des liens entre les questions d’un énoncé complexe et, conséquence de tout cela, être très solide nerveusement. Ce sujet va sans doute laisser des traces et demain, pour l’épreuve de l’EDHEC, les étudiants risquent d’être encore sous le choc des secousses de la veille ! Je pense que les correcteurs vont s’amuser pour échelonner les notes…
Bonne chance pour la dernière épreuve de maths de l’EDHEC !