Analyse du sujet de MATHS ECE (EML, 2018)

Introduction

Généralités : Un format ultra-classique présentant 3 exercices :

• un exercice d’algèbre avec diagonalisation
• un exercice d’analyse avec fonctions, suites, intégration, fonctions de deux variables et une point de Scilab
• un exercice de probabilités orienté « variables discrètes » avec des couples et du Scilab

Exercice 1

De l’algèbre ECE2 uniquement où le rapport entre applications linéaires et matrices est à l’honneur. Les étudiants n’aiment pas trop ce genre de relations et malheureusement ici, ils n’avaient pas le choix ! C’est une tendance qui se confirme à l’EDHEC comme à l’EML donc je vous invite à bien étudier ce chapitre de seconde année.

Dans le détail :

• une matrice de passage à exprimer,
• un calcul d’inverse,
• une recherche de valeurs propres assez originale où l’on ne doit pas repasser par le fastidieux « A-aI non inversible ssi… » mais où l’on exprime A’ représentant f dans une base. A tous les coups, A’ est diagonale ou triangulaire, ce qui permet d’identifier les valeurs propres sur la diagonale.
• la fameuse question « f est-il diagonalisable ? » après avoir trouvé les valeurs propres. Je n’ai pas fait le calcul mais si on ne trouve qu’une valeur propre, on sait classiquement démontrer que l’endomorphisme, non scalaire, est non diagonalisable…
• le rapport entre bijectivité d’un endomorphisme et valeurs propres
• en question 3, un calcul de valeurs propres à l’aide d’un polynôme annulateur
• en question 4 et 5, on analyse un espace vectoriel ultra-classique qui tombe très souvent aux Ecricomes ou à l’EDHEC et l’EML, avec des variantes, parfois c’est AM=MA, là c’était BM=MA…
• en revanche, une originalité car on est amené à manipuler des transposées et notamment des rangs de matrices transposées. En ECS, on sait que une matrice et sa transposée ont même rang mais ce n’est a priori pas au programme des ECE… Donc il fallait se livrer à un petit calcul sans doute simple mais qui a dû dérouter quelques candidats… Compte tenu de la longueur du sujet, il était sans doute temps pour la plupart de passer à la suite qui regorgeait aussi de questions classiques.

Exercice 2

De l’analyse mêlant programme ECE1 et ECE2 et qui présente l’intérêt de proposer une belle révision, même si les intégrales impropres n’y figurent pas. Et quelques questions vues et revues qui ne présentaient que peu de difficultés car l’énoncé balisait bien le terrain.

Dans le détail :

• Partie I : une étude de fonctions sans difficultés particulières avec la recherche de solution d’une équation qui nous aiderait ensuite pour l’étude de la suite…
• Partie II : on retrouve l’analyse classique d’une suite de la forme Un+1=f(Un). Les étudiants sérieux devaient sans doute connaître la méthode d’analyse de ce genre de suite avec la recherche d’intervalles de stabilité (en 4, l’intervalle nous était donné et il suffisait de faire une récurrence), de points fixes donnant les limites éventuelles (c’était là qu’il fallait faire le lien avec la partie I…) et enfin d’étude de monotonie permettant d’utiliser le théorème de la limite monotone et le théorème du point fixe (attention de bien préciser la continuité en l, limite éventuelle). Du classique donc tombe depuis des années aux concours (EML 1993, EML 1995 pour les plus vieux que j’ai en tête !). En Q6, on avait là aussi une question classique : une relation Vn+1 < aVn qui fait pensé à une suite géométrique mais ce n’est pas une suite géométrique car il n’y a pas égalité. On s’en sort en faisant une récurrence dans la 6.b. En 7, on avait du Scilab assez simple de calcul d’une suite assorti d’un petit programme à compléter.
• Partie III : sans doute la partie qui a dû déranger pas mal d’étudiants. A l’EML 2009, on avait le même genre d’intégrales en partie III aussi avec une fonction définie par une intégrale et où la variable se situe aux niveaux des 2 bornes. Le théorème fondamental de l’analyse ne s’appliquait donc pas directement, il fallait redémontrer en passant par une primitive pour trouver la dérivée sans oublier de savoir calculer la dérivée d’une fonction composée… Ensuite on avait du prolongement par continuité dont les étudiants d’ECE raffolent ! On termine la partie avec une représentation graphique que les étudiants désertent de plus en plus alors qu’il y a plein de points à aller chercher, comme je le répète tous les ans à mes étudiants qui me maudissent lorsque je les exerce régulièrement sur ce genre de tracés. Peut-être m’ont-ils moins maudit cette fois-ci !
• Partie IV : une partie qui semble assez classique sur le chapitre fonctions de deux variables. Du calcul bien balisé où les questions précédentes sont utiles donc à faire que si vous avez touché ce qui précède.

Exercice 3

Un exercice de probabilités discrètes autour d’un lancer de pièce non équilibrée. Pas sûr que les étudiants aient apprécié l’originalité du protocole… Les résultats étaient toutefois donnés donc on pouvait tout de même avancer. Sans doute l’exercice qu’il fallait faire à la fin car un peu plus casse-tête que les deux premiers.

Dans le détail :

• La partie I nous permet d’appréhender la variable X en douceur avec trois exemples initiaux. Heureusement car la variable X a de quoi dérouter puisqu’elle mesure le nombre de Face obtenus avant l’obtention du deuxième Pile… Le cas général étant donné, on peut craindre pas mal de « bluff » sur la façon d’y parvenir. Les correcteurs vont sans doute s’amuser, ou pas !
• Partie II : une partie intéressante avec des lois conditionnelles, des calculs de séries, le lien entre lois conditionnelles et lois (mobilisant sans doute la formule des probas totales…) et un calcul de covariance simple pour ceux qui connaissent leur cours
• Partie III : il s’agit de l’étude d’un jeu avec des simulations Scilab sympathiques assorties d’une analyse de graphique bien dans l’esprit du programme. Une loi usuelle à trouver puis à manipuler en Q7. Enfin en Q8, on utilise une formule des probabilités totales (8.a), puis on calcule la série ainsi obtenue (8.b) et on résout une équation simple pour finir (8.c).

Conclusion

Un sujet très complet et présentant des questions discriminantes, notamment sur la fin de l’exercice I et l’exercice III. Niveau stratégie, il fallait sans doute commencer par l’exercice I, puis passer à l’exercice II pour enfin se frotter à l’exercice III en fin d’épreuve.