Le Concours Corrigé : Analyse Ecricome Maths ECS 2019

 

 

Exercice 1 : Intégrale de Wallis

 

Chapitres concernés : suites, séries, intégration sur un segment, Scilab
Niveau de difficulté : facile

On commence en douceur avec un exercice qui revisite une enième fois les intégrales de Wallis. Ces intégrales sont tombées à de multiples reprises dans l’histoire des concours : ESCP 1994, EML 1996, ESSEC 2001, EML 2018, EDHEC 2018 (1er sujet). Bref, on n’est pas du tout surpris si on a pris la peine de travailler le chapitre « intégration sur un segment ».

Quelques grands classiques qu’il ne fallait pas louper dans ce sujet :
2.a) on utilise la croissance de l’intégration en mentionnant bien la continuité des fonctions et l’ordre croissant des bornes.

2.b) on utilise une IPP (le concepteur a été sympa de donner l’astuce… ma prof de prépa n’avait pas été aussi gentille quand elle nous a donné les intégrales de Wallis au premier concours blanc de mon année de bizuth…) avec l’astuce suivante : (cost)^(n+2) = (cost)^(n+1)*cost

2.c) on exigera du candidat des démonstrations par récurrence. Pas d’itération donc.

3.a) cadeau sur les équivalents. Et si vous ne vous souvenez pas de vos équivalents, les DL vous permettront de les retrouver.

4.a) encore de la croissance de l’intégration en majorant cos par 1.

5.a) ça sent le critère de comparaison des séries à termes positifs en faisant apparaître le terme général d’une série de Riemann dans le cas divergent. Peut-être une utilisation de la définition de la limite sera utile pour se débarrasser du cos qui pose problème à droite de l’inégalité. Comme ce cos tend vers 1 d’après 3.c), il est nécessairement plus grand qu’1/2 par exemple, à partir d’un certain rang…

6.a) cadeau sur les formules de trigonométrie

6.b) cadeau sur les changements de variable

6.c) moins évident mais on observe une relation de récurrence permettant de passer du rang n au rang n+1 : une démonstration par récurrence doit donc marcher.

6.d) Encore croissance de l’intégration mais avec de l’inégalité triangulaire pour les intégrales.

6.e) théorème d’encadrement.

 

Bilan de l’exercice 1 :

Franchement, c’était un exercice qui valorisait le travail du candidat. Très peu de surprises et même en cas de difficulté, tous les résultats sont donnés donc ça ne nous empêche pas d’avancer. A titre personnel, j’aurais commencé par cet exercice pour aborder la suite sereinement et en ayant fait le plein de confiance.

 

Exercice 2 :

 

Chapitres concernés : algèbre linéaire et bilinéaire
Niveau de difficulté : intermédiaire

De l’algèbre linéaire et bilinéaire qui ne semble pas trop technique mais où, à part la partie A, on ne reconnaît pas trop de grands classiques. Ce qui ne veut pas dire que ce sera compliqué. Il faudra juste s’y attarder un peu pour s’en sortir.

Quelques questions à faire absolument :

Q1) Pour le coup, on commence avec une partie quasiment culturelle ! La matrice présentée est tombée à plusieurs reprises aux concours, en ECS comme en ECE. On l’élève au carré et on obtient l’identité. On a donc un polynôme annulateur qui nous donne les deux valeurs propres éventuelles 1 et -1. Comme S est symétrique, elle est diagonalisable et donc nécessairement 1 et -1 sont les deux valeurs propres de S et par un test rapide sur la trace, on peut même voir que le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est de dimension 2. Ce n’était pas demandé mais c’est utile pour la BCE !

Q3) Comme S est diagonalisable, les sous-espaces propres sont supplémentaires dans M3,1(R). C’est donc du cours.

Q4.a) On montre aisément que S est symétrique

Q4.c) on veut nous tester sur notre capacité à utiliser le produit matriciel dans le cas général. Une bonne maîtrise du cours suffit donc ici.

 

Bilan de l’exercice 2 :

Un exercice où des questions étaient très banales, d’autres moins. Si vous bloquez sur une ou plusieurs questions, n’hésitez pas à passer pour aller toucher le problème.

 

Problème

 

Chapitres concernés : probabilités, variables aléatoires, suites, algèbre linéaire, polynômes Niveau de difficulté : difficile

Des probabilités pour finir. On prend rapidement confiance car l’énoncé présente un protocole assez classique d’urne à contenu évolutif que les initiés appellent parfois « urnes de Polya » et qui rappellent l’incontournable HEC 1992 que de nombreuses prépas donnent encore en concours blanc ou DS.

Néanmoins, quand on regarde les questions qui suivent, on ne repère pas aisément de grands classiques. Il va donc falloir plonger dedans et tenter d’être précis car cela semble technique.

Quelques questions qu’il fallait toutefois tenter :

Q1 à Q6) c’est une trame assez fréquente sur ce genre d’exercices :

• on commence par quelques cas simples pour bien rentrer dedans,
• on analyse le support en voyant ce qu’il se passe au minimum et au maximum (ou en procédant par double inclusion pour les plus rigoureux)
• on étudie une probabilité conditionnelle qui est le plus souvent nulle et dans un ou deux cas non nulle
• on utilise la formule des probabilités totales ou une union d’événements pour obtenir la relation (*)

Attention toutefois, la Q5 demande beaucoup de soin et rappelle des sujets comme Ecricome 2008 ECE (exercice 3) ou ESCP 2006 (oral), ou plus récemment le problème 2 de l’EML 2018, Q7 : on remarque par exemple que lorsque i n’appartient pas au support, la relation est évidente car certaines probabilités (voire toutes) s’annulent… Visionnez notre vidéo pour bien comprendre ce point.

Q12.a) une question technique mais ultra classique donc à titre personnel, j’aurais tenté de décrocher les points à prendre.

Q12.b) attention, ce n’est pas une suite arithmético-géométrique car (k+1)/(k+2) dépend de k… Il fallait donc faire une récurrence.

Q13.a) Ca ressemble à de l’inégalité de Bienaymé Tchebychev mais légèrement transformée. A tenter !

Q14a,b,c) Questions abordables en remarquant bien que i et j sont différents pour établir l’égalité des degrés. La 14.c) se déduit de la b) car si phi(P) est nul, alors P est nul car de même degré (moins l’infini) et donc le noyau est l’espace vectoriel réduit au vecteur nul, ce qui prouve l’injectivité.

Q14.d) cela rappelle une question de l’ESSEC 2008 partie 1 sur les polynômes de Newton. On fait une restriction pour montrer la bijectivité, donc la surjectivité. Quand on revient à la version « sans restriction », la surjectivité se montre en l’écrivant.

 

Bilan du problème :

Sans doute la partie la plus technique du sujet mais qui présente tout de même des questions jouables bien que plus techniques que dans les deux premiers exercices.

 

Conclusion :

 

Au final, un sujet sympathique où les candidats sérieux pouvaient vraiment s’illustrer par la rédaction et la précision technique. Un très bon sujet aussi pour les bizuths qui aborderont prochainement les révisions de leur concours blanc. A n’en pas douter, certains professeurs de prépa auront l’idée d’y insérer l’exercice 1 ou le problème…

 

Retrouvez ci-dessous la correction écrite du sujet par Frédéric Brossard, professeur de Maths chez MyPrepa :

 

Consultez les corrections vidéos réalisées par Olivier Sarfati :

 

Téléchargez le compte-rendu de la correction vidéo :